{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

  Точка О является центром правильного восьмиугольника А1А2...А8, площадь треугольника А1А3А5 равна 9. Точка В выбрана таким образом, что треугольник А1А7В равновелик треугольнику А2ОА5. Найдите высоту треугольника А1А7В, проведённую из вершины В.

 

  Дано: А1А2...А8 - правильный восьмиугольник, SA1A3A5 = 9; SA2OA5 = SA1BA7; BH перпендикулярна А1А7.

  Найти: ВН (см. рисунок).

 Восьмиугольник А1А2...А8

  Решение:

  1) Из равенства треугольников А1А2А3 и А3А4А5 имеем: А1А3 = А3А5.

  Угол А1А3А5 = угол А2А3А4 − угол А2А3А1 − угол А4А3А5. Так как угол А2А3А4 = (180°(8 − 2))/8 = 135° и угол А2А3А1 + угол А4А3А5 = 180° − 135° = 45°, то угол А1А3А5 = 90°. Следовательно, А3А5 - диаметр описанной окружности и А1А3 = А3А5 = R√2.

  SA1A3A5 = 1/2 · A1A3 · A3A5 = R2; R2 = 9; R = 3.

  2) Так как угол А1ОА2 = 360°/8 = 45°, то угол А2ОА5 = 180° − 45° = 135°;

  SA2OA5 = 1/2 · А2О · А5О · sin135° = 1/2 · R2 · √2/2 = (R2√2)/4 = 9√2/4.

  3) Из равенства ΔА1А8А7 и ΔА1А2А3 имеем: А1А7 = А1А3 = R√2.

  Тогда SA1A7B = 1/2 · A1A7 · BH = 1/2 · R√2 · BH = 3√2/2 · BH.

  Учитывая, что по условию ΔА1А7В и ΔА2ОА5 равновелики, получаем 3√2/2 · ВН = 9√2/4; ВН = 1,5.

  Ответ: 1,5.

 {module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}