В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и ВС равно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, площадь треугольника АОВ равна 6. Найдите площадь трапеции.

   Дано: ABCD - трапеция (см. рисунок), AD : ВС = 3 : 1; О - точка пересечения диагоналей, S_AOB = 6.

  Найти: S_ABCD.

  Решение:

  1. S_ABD = S_ABO + S_AOD; S_ACD = S_COD + S_AOD. Так как S_ABD = S_ACD = (H · AD)/2, то S_ABO + S_AOD = S_COD + S_AOD; S_ABO = S_COD.

  2. Из подобия треугольников ВОС и AOD следует: S_BOC/S_AOD = k² = 1/9, где k - коэффициент подобия; S_AOD = 9S_BOC.

  3. Так как ОС = АО/3, то S_BOC = h/2 · OC = 1/2 · h · 1/3 · AO = 1/3 · S_AOB = 1/3 · 6 = 2. S_ΔAOB = 3S_ΔBOC. Получим:

  S_ABCD = S_ΔAOB + S_ΔBOC + S_ΔCOD + S_ΔAOD = 6 + 2 + 6 + 18 = 32.

  Ответ: 32.