В трапецию ABCD с прямым углом BAD вписана окружность радиусом 5. Найдите среднюю линию трапеции, если угол между ней и боковой стороной CD трапеции равен 30°.

  Решение:

  Пусть О - центр вписанной в трапецию ABCD окружности. Точка О лежит на средней линии (см. рисунок) MN трапеции, так как равноудалена от прямых AD и ВС. А поскольку угол BAD = 90°, то и угол ОМА - тоже прямой. Значит, М - точка касания. Поэтому МО = 5. Пусть Н - точка касания окружности со стороной CD. Тогда угол NНО = 90°, ОН = 5. Из прямоугольного треугольника ОНN находим ON = 2ОН = 10, то есть MN = MO + ON = 15.

  Ответ: 15.