Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3 : 5. Найдите длину большего основания трапеции.

  Дано: ABCD - трапеция, MN - средняя линия, MN = 10, S_MBCN / S_AMND = 3/5 (см. рисунок).

  Найти: AD.

  Решение:

  Обозначим одну восьмую часть площади трапеции через х, тогда

  S_MBCN = 3x, S_AMND = 5x, S_ABCD = 8x. Пусть AD = a, a > 10. Так как MN = (BC + AD)/2 (по теореме о средней линии трапеции), ВС = 2MN − AD = 20 − a. Проведем высоту ВК = h₁ + h₂, где h₁ - высота трапеции MBCN, h₂ - высота трапеции AMND.

  S_MBCN = (MN + BC)/2 · h₁; 3x = (10 + 20 − a)/2 · h₁; h₁ = 6x/(30 − a).

  S_AMND = (MN + AD)/2 · h₂; 5x = (10 + a)/2 · h₂; h₂ = 10x/(10 + a).

  S_ABCD = 10 · (h₁ + h₂); h₁ + h₂ = 8x/10 = 4x/5;

  6x/(30 − a) + 10x/(10 + a) = 4x/5;

  3/(30 − a) + 5/(10 + a) = 2/5;

  a² − 25a + 150 = 0;

  a₁ = 15;

  a₂ = 10 (не удовлетворяет условию а > 10).

  AD = 15.

  Ответ: 15.