В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, отсекающая на сторонах ВС и AD отрезки ВЕ = 1,6 и AF = 6,4. М - точка пересечения прямых АВ и EF. Найдите периметр треугольника ABD, если ВМ = 1 и угол BAD = 60°.
Решение:
Искомый периметр PABD = AB + AD + BD. Найдем стороны АВ, AD и BD (см. рисунок).
AD = AF + FD. Чтобы найти FD, покажем, что треугольники ВОЕ и FOD равны. Углы ЕВО и ODF - накрест лежащие, углы ВОЕ и FOD - вертикальные, ВО = OD так как О - точка пересечения диагоналей. Следовательно, ΔВОЕ = ΔFOD - по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому FD = BE = 1,6. Следовательно, AD = 6,4 + 1,6 = 8.
Найдем сторону АВ. Рассмотрим треугольники ВМЕ и AMF.
Углы МВЕ и MAF - соответственные, углы ВМЕ и AMF совпадают. Следовательно, ΔВМЕ подобен ΔAMF - по двум равным углам. Из подобия треугольников имеем:
MB/AM = BE/AF
AM = (MB · AF)/BE = (1 · 6,4)/1,6 = 4.
Получаем: АВ = АМ − ВМ = 4 − 1 = 3.
Найдем сторону BD.
По теореме косинусов
BD2 = AB2 + AD2 − 2AB · AD · cosBAD = 32 + 82 − 2 · 3 · 8cos60° = 49
BD = 7.
Получаем: PABD = 3 + 8 + 7 = 18.
Ответ: 18.
