В параллелограмме ABCD биссектрисы углов В и С пересекаются в точке L, лежащей на стороне AD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что BL = 6, а периметр треугольника CDL равен 18.
Решение:
1) Так как угол CLD равен углу BCL и угол DCL равен углу BCL, то угол CLD равен углу DCL (см. рисунок).
Следовательно, DL = CD, и аналогично AL = AB. Поскольку CD = AB, то DL = AL = AD/2.
2) Так как угол BCL = C/2, угол CBL = B/2, то сумма углов BCL и CBL равна С/2 + В/2 = 90° => угол BLC = 90°. Пусть CL = x, (x > 0), тогда из треугольника BLC по теореме Пифагора имеем:
Таким образом,
Так как по условию периметр треугольника BCL равен 18, то
Отсюда х = 8. Итак, SBCL = BL/2 · CL = 24, SABCD = 2SBCL = 48.
Ответ: 48.
