Найдите все тройки натуральных чисел m, n и k, удовлетворяющие уравнению

5 · k! = m! − n!

(1! = 1; 2! = 1 · 2 = 2; n! = 1 · 2 · ... · n).

  Решение:

  Из условия задачи видно, что m > n и m > k.

  Рассмотрим три случая:

  1) k > n;

  2) k < n;

  3) k = n.

  1) Пусть k > n. Но тогда левая часть уравнения делится на k!, а правая часть не делится.

  2) Пусть k < n. Учитывая то, что 5 - простое число, понимаем, что левая часть уравнения (то есть 5k!) разделится на n! только при k = 4 и n = 5. Получаем тогда m! = 2 · 5!. Решений нет.

  3) Пусть k = n. Получаем: 6 · k! = m!. Или иначе:

k! · 6 = k! · (k + 1) · (k + 2) · ... · m.

  Так как множитель 6 мы можем получить (представить) в подобном выражении лишь двумя способами (6 = 6 и 6 = 2 · 3), то имеется два решения:

m = 6, k = n = 5 и m = 3, k = n = 1.

  Ответ: m = 6, k = n = 5; m = 3, k = n = 1.