Каждое из чисел 2, 3, ..., 7 умножают на каждое из чисел 9, 10, ..., 17 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

  Решение:

  Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, максимальную сумму получим, расставив плюсы перед всеми произведениями.

S_max = (2 + 3 + ... + 7) · (9 + 10 + ... + 17) = 3159.

  Заметим, что это число - нечётное, поэтому, как бы мы не расставляли знаки, сумма 54-х произведений будет нечётной (нуль получить нельзя). Действительно, поменяв знак перед любым слагаемым, равным k, мы изменим сумму на величину 2k, чётность результата не изменится. Поэтому

S_min = (2 + 3 + 4 + 5 − 6 − 7)(9 + 10 + 11 − 12 − 13 + 14 + 15 − 16 − 17) = 1.

  Нужную расстановку знаков перед произведениями мы получим, раскрыв скобки.

  Ответ: 1 и 3159.