Найдите наибольшее и наименьшее натуральные значения k, при которых уравнение

(x² + y²)²⁰¹⁰ = x^k · y^k

  имеет натуральные решения.

  Решение:

  Так как x² + y² ≥ 2xy, для решений нашего уравнения получаем:

 x^k · y^k = (x² + y²)²⁰¹⁰ ≥ (2xy)²⁰¹⁰ > (xy)²⁰¹⁰,

поэтому k > 2010.

  Если х = у, то (х² + у²)²⁰¹⁰ = х^2k, откуда 2²⁰¹⁰ · х⁴⁰²⁰ = х^2k, получаем, что

x^{k − 2010} = 2¹⁰⁰⁵.

  Тогда х = 2^q, где q - целое неотрицательное число, причем

q(k − 2010) = 1005.

  Получается, что (k − 2010) - это натуральный делитель числа 1005. Наибольший такой делитель (k − 2010)_max = 1005, а наименьший - это (k − 2010)_min = 1. Теперь находим интересующие нас значения k_max = 3015, при этом х = у = 2¹⁰⁰⁵, и k_min = 2011, тогда х = у = 2.

  Разберём теперь случай х ≠ у. Так как х и у не могут одновременно равняться единице, найдётся простое число р, такое, что х = pⁿa, y = p^mb, пусть n > m ≥ 0, a и b не делятся на р. Другими словами, в разложении неравных чисел х и у на простые множители простое число р входит с неравными степенями n и m соответственно. Так как сами числа не равны друг другу, такой множитель найдется.

  Тогда

(p²ⁿa² + p^2mb²)²⁰¹⁰ = (p^{n + m}ab)^k,

или

(p^{2n − 2m}a² + b²)²⁰¹⁰ = a^kb^k · p^{k(n + m) − 2m · 2010}.

  Вспомним, что k > 2010 и n > m, но тогда получается, что степень числа р в правой части больше нуля, а левая часть на р не делится! Получается, что если х ≠ у, то данное уравнение решений не имеет.

  Ответ: 2011 и 3015.