Найдите все пары натуральных чисел k и n таких, что k < n и

(1/n)k = (1/k)n.

 

  Решение:

  Последовательно получаем

nk = kn,

k · ln n = n · ln k,

ln n / n = ln k / k.

  Рассмотрим функцию f(x) = ln x / x. Она принимает два одинаковых значения в двух различных точках (x1 = k, x2 = n). Определяем с помощью производной, что единственный экстремум функции f(x) - это точка максимума xmax = e. Выходит, что точка xmax = e находится между точками x1 = k и x2 = n. Следовательно, натуральное число k удовлетворяет двойному неравенству k < e < 3. Таких натуральных чисел всего два. Для k = 1 нет подходящих n. Для k = 2 число n (n > e) найдём из равенства n2 = 2n, которое справедливо лишь для двух натуральных чисел: 2 и 4. Итак, n = 4.

  Ответ: k = 2, n = 4.