Найдите все натуральные числа, меньшие, чем 105, которые делятся на 1999 и у которых сумма цифр (в десятичной записи) равна 25.
Решение:
Искомые числа находятся среди чисел вида 1999k, k = 1, 2, .... , 50. Известно, что натуральное число и сумма цифр в его десятичной записи имеют одинаковые остатки при делении на 9. Остатки от деления чисел 25 и 1999 на 9 равны соответственно 7 и 1, поэтому число k имеет остаток 7 при делении на 9. Значит, k может быть одним из чисел 7, 16, 25, 34 и 43. Теперь остается из этих значений k выбрать те, для которых у чисел вида 1999k сумма цифр равна 25. Это можно сделать без труда, так как
1999k = 2000k − k.
Находим, что k = 7 и k = 16. Значит, искомые числа - 13993 и 31984.
Ответ: 13993 и 31984.
