Решите в натуральных числах уравнение a! + b! + c! = d!.

  Задание 21 применительно к ЕГЭ по математике.

  Решение:

  Пусть для определенности a ≤ b ≤ c. Из уравнения следует, что c < d. Тогда d ≥ c + 1, или d! ≥ (c + 1)!.

  Но (с + 1)! = (с + 1) · с!, и мы получаем цепочку неравенств:

3c! ≥ a! + b! + c! = d! ≥ (c + 1)c!

  При с > 2 это невозможно. Перебирая оставшиеся возможности при с ≤ 2, находим, что

a = b = c = 2, d = 3.

  То, что a = b = c, можно доказать иначе. Если a < b ≤ c, то в исходном уравнении все факториалы, кроме первого (а!), делятся на b!. Получаем противоречие.

  Если же a = b ≤ c, то 2a! + c! = d!. Разделим это равенство на с!.

  Получим (2а!/с!) + 1 = d!/c!. Число 2а!/с! может быть целым только в двух случаях: когда а = с (здесь мы находим ответ), или когда а = 1, с = 2. Во втором случае решений нет.

  Ответ: а = b = c = 2, d = 3.