Найдите все такие натуральные n, что при вычёркивании первой цифры у числа 4n снова получается число, являющееся натуральной степенью числа 4.

 

Решение:

  Заметим, что последние цифры натуральных степеней четверки образуют цикл с шагом 2:

4 → 6 → 4 → 6 → 4 → ... .

  Следовательно, если в десятичной записи степеней четвёрок совпадают последние цифры, то частное от деления этих степеней равно

42r = 16r,

  где r - натуральное число. Так как эти степени четвёрки (и только они) оканчиваются на 6, то 42r − 1 = 16r − 1 делится на 5.

  Тогда после зачеркивания первой цифры десятичной записи числа 4n получилось число 4n − 2r. По условию задачи

4n − 4n − 2r = 4n − 2r(42r − 1) = p · 10k.

  Покажем, что в нашем случае r = 1. Как уже было сказано, число

42r − 1 = (4r − 1)(4r + 1)

  делится на 5. Множители из правой части последнего равенства отличаются на 2, поэтому лишь один из них делится на 5. Тогда второй множитель - нечётное число, не делящееся на 5. Этот множитель должен быть делителем однозначного числа р. Но при r > 1 этот делитель будет не меньше 15-ти.

  При r = 1 получаем

4n − 2(42 − 1) = 4n − 2 · 15 = 4n − 2 · 3 · 5 = p · 10k.

  Нуль на конце возникает только при умножении 2 и 5, поэтому он единственный. Кроме того,

p = 4n − 3 · 3 < 10,

  следовательно, n = 3. Получается, что условию задачи удовлетворяет лишь число 64 = 43.

  Ответ: n = 3.