Каждый из двух различных корней квадратного трёхчлена
f(x) = x2 + (3a + 10)x + 5b − 14
и его значение при х = 1, являются простыми числами. Найдите a, b и корни трёхчлена f(x).
Задание 21 применительно к ЕГЭ по математике
Решение:
Воспользуемся опытом, полученным при решении предыдущей задачи.
Нам дано, что f(1), x1 и x2 являются простыми числами. Значит, (х1 − 1) и (х2 − 1) - натуральные числа и меньшее из них должно быть равно 1 (иначе f(1) = (x1 − 1)(x2 − 1) не будет простым). Следовательно, х1 − 1 = 1, откуда х1 = 2. Тогда f(1) = x2 − 1 и х2 - два последовательных простых числа, что возможно только, если это числа 2 и 3. Теперь, зная корни х1 = 2, х2 = 3, применяем теорему Виета:
3а + 10 = −5, 5b − 14 = 6,
откуда a = −5, b = 4.
