Задание 21 применительно к ЕГЭ по математике
Квадратный трёхчлен x2 + ax + b имеет целые корни, по модулю большие 2. Докажите, что число a + b + 1 - составное.
Решение:
Пусть x1 и x2 - корни данного трёхчлена. Тогда по теореме Виета
a + b + 1 = − (x1 + x2) + x1x2 + 1 = (x1 − 1)(x2 − 1).
Из условия следует, что каждая скобка не равна 1, −1 или 0.
То есть число a + b + 1 - составное.
Замечание. Так как для квадратного трёхчлена
f(x) =x2 + ax + b
величина
a + b + 1 = f(1),
то разложение
f(1) = (x1 − 1)(x2 − 1)
можно было получить сразу, вспомнив о разложении приведённого квадратного трёхчлена на множители
f(x) = (x1 − x)(x2 − x).
