При каком наибольшем n найдется n семизначных чисел, являющихся последовательными членами одной геометрической прогрессии?

  Решение:

  Рассмотрим прогрессию, у которой

b₁ = 2²⁰, а q = 5/4.

  Первые 11 членов этой прогрессии - целые семизначные числа, поскольку b₁ > 10⁶,

так как

(2¹⁰)² = 1024²,

а b₁₁ = 5¹⁰ = 125 · 5⁷ < 128 · 5⁷ = 2⁷ · 5⁷ = 10⁷.

  Покажем, что прогрессии, содержащей 12 и более требуемых членов, не существует.

  Предположим, что это не так. Пусть знаменатель прогрессии

q = m/k

(m/k - несократимая дробь),

b₁ - её первый член.

  Будем считать, что q > 1. В противном случае рассмотрим 12 этих членов прогрессии в обратном порядке и получим требуемую прогрессию со знаменателем 1/q. Поскольку m/k - несократимая дробь, а

b₁₂ = b₁ · (m¹¹/k¹¹) - целое число,

  то b₁ делится на k¹¹ и b₁₂ ≥ m¹¹.

  Если теперь предположить, что m ≥ 5, то получим b₁₂ ≥ 5¹¹ > 10⁷, что противоречит условию.

  Следовательно, m ≤ 4. Но тогда наименьшее возможное значение q равно 4/3, поэтому

q¹¹ ≥ (4/3)¹¹ > 10.

  Теперь получаем

b₁₂ = b₁ · q¹¹ > b₁ · 10 > 10⁷,

  что опять противоречит условию.

  Следовательно, геометрической прогрессии, содержащей хотя бы 12 требуемых членов (12 или более семизначных чисел), не существует.

  Ответ: 11.