На числовой оси отмечены все точки с целыми координатами. Разрешается прыгать на 1 и на 4 вправо или влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из точки 1 в точку 2, ни разу не попадая в точки с координатами, кратными 4?
Решение:
Точки, соответствующие числам вида 4n, в которые не разрешается попадать, совершая прыжки, разбивают координатную ось на интервалы длины 4.
Поэтому каждый прыжок на 4 единицы происходит всегда через точку вида 4n. Так как точки 1 и 2 находятся на одном интервале между соседними точками вида 4n, то, начав движение из точки 1 и завершив его в точке 2 из одного интервала, мы выполним одинаковое число прыжков на 4 единицы вправо и влево, следовательно, общее число прыжков на 4 единицы чётное. Тогда на прыжки на одну единицу остается чётное число прыжков, так как общее число прыжков 2010 чётное.
Выполняя один прыжок на 1 единицу от числа k вправо (влево), мы увеличиваем (уменьшаем) число k на 1. Выполняя один прыжок на 4 единицы от числа k вправо (влево), мы увеличиваем (уменьшаем) число k на 4.
Если всего выполнено а прыжков на 4 единицы вправо, а прыжков на 4 единицы влево, b прыжков на 1 единицу вправо и с прыжков на 1 единицу влево, то выполняется равенство
1 + 4а − 4а + b − с = 2
(последовательность выполнения прыжков, очевидно, не влияет на результат), т.е. верно равенство b = с + 1. Но тогда общее количество прыжков на 1 единицу равно
b + c = 2c + 1
- число нечётное, а выше установлено, что это число чётное.
Это означает, что выполнить требуемое невозможно.
Ответ: Нет.