Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида p² − 1, где p - простое число, большее 3, но меньшее 2010.

  Решение:

  Обозначим буквой N искомый наибольший общий делитель. Так как наименьшее число p² − 1, о котором идет речь в условии задачи, равно 24, то N не может быть больше 24.

  Покажем, что все числа вида p² − 1, о которых идёт речь в задаче, делятся на 24. Из трёх последовательных чисел p − 1, p и p + 1 одно обязательно делится на 3. Так как p - простое число, большее 3, то на 3 оно не делится. Следовательно, на 3 делится одно из двух других (чётных!) чисел: или р − 1, или р + 1. А так как произведение двух последовательных чётных чисел делится на 8, то число

р² − 1 = (р − 1)(р + 1)

  делится на 24.

  Отметим, что ограничение сверху "меньше 2010" в условии задачи лишнее.

  Ответ: 24.