Решите в целых числах уравнение

1 + 2^k + 2^{2k + 1} = n².

  Решение:

  При k = 1 получаем n² = 11 и решений нет, при k = 0 получаем n = ± 2, при k = − 1 получаем n² = 2 и решений нет, при k < − 1 решений нет, так как правая часть лежит в интервале (1; 2).

  Рассмотрим случай k ≥ 2. Как известно, чётные степени двойки дают при делении на 3 остаток 1, а нечётные дают остаток 2. Отсюда следует, что 1 + 2^2k+1 делится на 3, и остаток от деления на 3 левой части такой же, как у 2^k, т.е. 1 при чётных k и 2 при нечётных k. Но известно также, что квадраты целых чисел не могут давать при делении на 3 остаток 2. Таким образом, k - чётное.

  Положим k = 2d, d  принадлежит N и перепишем уравнение в виде

1 + 4^d + 2 · 4^2d = n².

  Достаточно найти натуральные n. Ясно, что n - нечётное, пусть

n = 2x + 1, x принадлежит N,

  тогда уравнение примет вид

1 + 4^d + 2 · 4^2d = 4x² + 4x + 1,

или

4^d · (1 + 2 · 4^d) = 4 · (x² + x),

или, сокращая на 4 и заменяя

y = d − 1, y принадлежит Z, y > 0,

4^y · (1 + 8 · 4^y) = x · (x + 1).

  Только одно из чисел х или х + 1 чётное, и оно делится на 4^у.

  Если х = m · 4^y (причём m - нечётное, m принадлежит N), то

4^y · (1 + 8 · 4^y) = m · 4^y · (m · 4^y + 1),

или 1 + 8 · 4^y = m² · 4^y + m,

или (8 − m²) · 4^y = m − 1.

  Выражение в скобке неотрицательно лишь при нечётном натуральном m = 1, но это значение m не даёт решения.

  Если x + 1 = m · 4^y (причём m - нечётное, m принадлежит N), то

4^y · (1 + 8 · 4^y) = (m · 4^y − 1) · m · 4^y,

или 1 + 8 · 4^y = m² · 4^y − m,

или (m² − 8) · 4^y = m + 1.

  Скобка слева неотрицательна при натуральных m ≥ 3, и это даёт решение m = 3, y = 1 (что приводит к решению исходного уравнения k = 4, n = ± 23). При натуральных m ≥ 5 имеем

m² − 8 ≥ m + 1, и решений нет.

  Ответ: k = 0, n = ±2; k = 4, n = ±23.