Решите в целых числах уравнение

m · n² = 10⁵n + m.

 

  Решение:

  Перепишем данное уравнение в виде

m(n² − 1) = 10⁵n.          (1)

  Если n = 0, то и m = 0. Получено первое решение уравнения (1).

  Если n ≠ 0, то и m ≠ 0. Заметим, что если пара чисел (m₀; n₀) - решение уравнения (1), то и пара (− m₀; − n₀) - тоже решение уравнения (1).

  Пусть n > 0, m > 0, тогда n ≠ 1. Перепишем уравнение (1) в виде

m(n − 1)(n + 1) = 10⁵n.           (2)

  Так как ни n − 1, ни n + 1 не делятся на n,  то m делится на n. Обозначим m = pn, где р - натуральное число. Разделив равенство (2) на n, имеем:

p(n − 1)(n + 1) = 10⁵.         (3)

  Число n не может быть чётным, так как в противном случае хотя бы одно из соседних нечётных чисел n − 1 и n + 1 будет иметь простой нечётный делитель, отличный от 5. Следовательно, число n нечётное, а n − 1 и n + 1 - два соседних чётных числа, не имеющие простых делителей, кроме 2 и 5.

  Выпишем чётные числа n − 1, не имеющие простых делителей, кроме 2 и 5 такие, что (n − 1)(n +1) не превосходит 10⁵. Учтём, что число n − 1 имеет делитель 2 в степени, не большей 4, так как число n + 1 тоже чётное, а степень числа в 2 в правой части равенства (3) равна 5.

  2¹ = 2, 2¹ · 5¹ = 10, 2¹ · 5² = 50, 2¹ · 5³ = 250,

  2² = 4, 2² · 5¹ = 20, 2³ · 5² = 100,

  2³ = 8, 2³ · 5¹ = 40, 2³ · 5² = 200,

  2⁴ = 16, 2⁴ · 5¹ = 80.

  Из всех перечисленных случаев только при n − 1 = 2 и n − 1 = 8 произведение (n − 1)(n + 1) не содержит простых делителей, кроме 2 и 5. Это означает, что условию задачи удовлетворяют лишь n = 3 и n = 9.

  При n = 3 из равенства (3) получим:

p = 12500, m = pn = 37500.

  При n = 9 из равенства (3) получим:

p = 1250, m = pn = 11250.

  Итак, условиям задачи удовлетворяют

n = 3 и m = 37500; n = 9 и m = 11250.

  В силу сделанного выше замечания условиям задачи удовлетворяют также n = − 3 и m = − 37500; n = − 9 и m = − 11250.

 

  Замечание. После уравнения (3) поиск решения задачи можно вести иначе. Присмотримся к уравнению p(n² − 1) = 10⁵. Число 10⁵ = 2⁵ · 5⁵ имеет 36 натуральных делителей, включая 1 и 10⁵, что позволяет провести полный перебор случаев. Можно сказать, что случаев 18, так как, рассматривая делитель d, мы одновременно рассматриваем делитель 10⁵/d.

  Но хочется найти более интересный путь, как-нибудь ограничить перебор, или вообще его избежать. Что ещё можно заметить в уравнении (3)?

  Из двух соседних чётных чисел одно обязательно делится на 4, а другое - не делится. Поэтому (n² − 1) обязательно делится на 2³, и это сокращает перебор с 18-ти до 9-ти случаев.

  Правая часть не делится на 3, поэтому на 3 должно делиться число n, в противном случае на 3 будет делиться (n² − 1). Получается, что (n² − 1) при делении на 9 даёт остаток 8.

  Мы уже отметили, что (n² − 1) может делиться на 2³, 2⁴ и 2⁵. Остатки от деления на 9 этих чисел равны соответственно 1, 7 и 5. Ещё (n − 1)(n + 1) может делиться на 5⁰, 5¹, 5², 5³, 5⁴ и 5⁵, чьи остатки от деления на 9 соответственно равны 1, 5, 7, 8, 4 и 2. Рассмотрев соответствующие остатки 18-ти попарных произведений этих степеней, находим, что нам подходят для дальнейшего рассмотрения только

2³ · 5⁰ = 8, 2⁴ · 5¹ = 80 и 2⁵ · 5² = 800.

  В первом случае получаем n = 3, p = 12500, m = pn = 37500.

  Во втором: n = 9, p = 1250, m = pn = 11250.

  В последнем случае n² = 801 не является квадратом натурального числа.

  В силу сделанного выше замечания, условиям задачи удовлетворяют также

n = − 3 и m = − 37500; n = − 9 и m = − 11250.

 

  Ответ: n = m = 0, или n = 3 и m = 37500, или n = 9 и m = 11250, или n = − 3 и m = − 37500, или n = − 9 и m = − 11250.