Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).
Решение:
I способ. Так как искомые числа n делятся на 42, то в их разложении на простые множители обязательно присутствуют простые делители 2, 3 и 7 в отличных от нулевой степенях. Действительно, число 42 (в роли количества делителей) можно представить в виде произведения не менее трёх отличных от единицы чисел лишь единственным образом:
42 = 2 · 3 · 7 = (1 + 1)(2 + 1)(6 + 1).
Тогда числа n имеют вид:
n = p · q2 · r6,
где числа p, q и r - это числа 2, 3 и 7 в различных комбинациях. Всего таких комбинаций 6.
II способ. Искомые числа делятся на 42 и имеют, по меньшей мере, простые делители 2, 3 и 7. Обозначив кратности этих делителей (без привязки к ним) m, n и k, найдем эти кратности из уравнения для количества делителей числа:
N = (m + 1)(n + 1)(k + 1) = 42 = 2 · 3 · 7.
Принимаем m = 1, n = 2, k = 6 (вариант единственный с точностью до привязки к буквам). Искомые числа (их количество равно числу перестановок из трех элементов Р3 = 3! = 6) равны:
2 · 32 · 76; 2 · 36 · 72; 22 · 3 · 76; 22 · 36 · 7; 26 · 3 · 72; 26 · 32 · 7.
Ответ: 2·32·76; 2·36·72; 22·3·76; 22·36·7; 26·3·72; 26·32·7.
