Решите в натуральных числах уравнение

n! + 5n + 13 = k²,

 где n! = 1 · 2 · ... · n - произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

  Решение:

  Перебирая n от 1 до 4, находим решение n = 2, k = 5. Предположим, что n ≥ 5. Тогда n! делится на 2 и 5, т.е. n! + 5n делится на 5, а значит, десятичная запись числа в левой части уравнения оканчивается на 3 или на 8. Но несложный перебор по последней цифре показывает, что квадрат целого числа не может оканчиваться ни на 3, ни на 8.

  Таким образом, исходному уравнению удовлетворяет только пара n = 2, k = 5.

  Ответ: n = 2, k = 5.