ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед. Диагонали смежных боковых граней АВ1 и СВ1 составляют с АС углы α и β. Сколько градусов составляет угол между плоскостью АВ1С и плоскостью основания, если tg α = 1, tg β = 4?

 

  Решение:

  Проведем высоту ВК в треугольнике АВС (см. рисунок).

 Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1

  Искомым углом будет угол ВКВ1. Обозначим АК = a, CK = b. Из условий (tg α = 1, tg β = 4) и из прямоугольных треугольников АКВ1 и СКВ1 следует, что В1К = 4b и В1К = а. То есть 4b = a. Высота ВК прямоугольного треугольника АВС ВК2 = ab = 4b2. Значит, ВК = 2b.

  Из прямоугольного треугольника В1ВК cos BKB1 = 1/2, то есть угол ВКВ1 = 60°.

  Ответ: 60.