В основании треугольной прямой призмы АВСА₁В₁С₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, АВ = ВС. Через сторону АС проведена плоскость, пересекающая боковое ребро В₁В в точке О и делящая его в отношении 1 : 3, считая от точки В₁. АС = 10. Высота призмы равна 16. Найдите отношение площадей треугольников S_OAC : S_ABC.

  Решение:

  Проведем из точки О перпендикуляр ОК на сторону АС (см. рисунок).

  Так как треугольники АВС и АОС имеют общее основание АС, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот, то есть S_OAC : S_ABC = OK : BK.

  Найдем ВК. Так как по условию треугольник АВС - равнобедренный и прямоугольный, то по теореме Пифагора

АС² = АВ² + ВС² = 2АВ²,

  Из треугольника АВК по теореме Пифагора:

  Найдем высоту ОК. Так как, по условию, точка О делит В₁В в отношении 1 : 3, то

ОВ = 3/4 · В₁В = 3/4 · 16 = 12.

  ОК находим из прямоугольного треугольника ОКВ по теореме Пифагора:

  Получаем: ОК/ВК = 13/5 = 2,6.

  Ответ: 2,6.