Высота правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равна 7, а диаметр описанной около боковой грани окружности равен √69. Найдите косинус угла между плоскостью А₁ВЕ и плоскостью AFF₁.

  Решение:

  Так как диаметр описанной около боковой грани окружности равен диагонали прямоугольника АА₁В₁В, то

  Найдём отрезок АС (см. рисунок).

  По теореме косинусов из треугольника АВС находим АС = АВ√3 = 2√15.

АК = 1/2 · АС = √15.

  Так как АК перпендикулярен А₁F₁, то по теореме о трех перпендикулярах КА₁ перпендикулярен A₁F₁. Тогда угол АА₁К - линейный угол двугранного угла между плоскостями А₁ВЕ и AFF₁, то есть искомый угол.

  Ответ: 0,875.