Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник, в котором АВ = АС = 2√2, ВС = 2. Высота призмы равна 1. Найдите градусную меру угла между ребром АС и диагональю А1В боковой грани.

 

  Решение:

  Обозначим искомый угол через α и заметим, что он равен углу ВА1С1. Пусть К - проекция точки В на прямую А1С1, а L - проекция точки К на прямую АС (см. рисунок).

 

  Тогда АС перпендикулярен LKB, и значит, АС перпендикулярен LB. Из треугольника А1КВ имеем: sin α = BK/A1B. Длины ВК и А1В выразим по теореме Пифагора из треугольников BKL и ВА1А:

 

  Высоту BL в треугольнике АВС найдём, выразив площадь треугольника АВС двумя способами:

  2SABC = BL · AC = BC · AH,

  где АН - высота к основанию ВС. 

  Так как АВ = АС, то АН является и медианой треугольника АВС, то есть ВН = ВС/2 = 1.

  По теореме Пифагора

  Итак,

 

  Так как треугольник А1КВ - прямоугольный, то угол α < 90°, следовательно, α = п/4, градусная мера α составляет 45°.

  Ответ: 45.