Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ и катетами АС = 3, ВС = 2. Высота призмы равна √3. Найдите косинус угла между ребром АС и диагональю А₁В.

  Решение:

  Пусть α - величина угла между прямыми А₁В и АС. Поскольку А₁С₁ параллелен АС, то α - угол С₁А₁В (см. рисунок).

  Так как А₁С₁ перпендикулярен С₁В₁, А₁С₁ перпендикулярен В₁С₁В и С₁В₁ - проекция С₁В на плоскость А₁В₁С₁, то по теореме о трёх перпендикулярах А₁С₁ перпендикулярен ВС₁. Следовательно, А₁С₁ перпендикулярен ВС₁, cos α = А₁С₁/А₁В.

  Из треугольников АСВ и А₁АВ по теореме Пифагора имеем:

АВ² = АС² + ВС² = 13,

  Ответ: 0,75.