Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁ - треугольник АВС, площадь которого равна 6, ВС = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и А₁ВС, если площадь треугольника А₁ВС равна 6√10.

  Решение:

  Так как АВСА₁В₁С₁ - прямая призма, то треугольник АВС является ортогональной проекцией треугольника А₁ВС (см. рисунок).

  Пусть А₁М - высота треугольника ВА₁С, тогда АМ - проекция А₁М на плоскость АВС, и значит, АМ перпендикулярен ВС. По определению линейным углом двугранного угла между плоскостями АВС и А₁ВС является угол АМА₁.

S_ABC = 1/2 · BC · AM = 2AM = 6 => AM = 3.

S_ΔA1BC = 1/2 · BC · A₁M = 2A₁M = 6√10 => A₁M = 3√10.

  Из треугольника А₁АМ:

  Ответ: 3.