Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Высота призмы равна 2. Найдите расстояние от точки С₁ до прямой АВ, если расстояние от точки В₁ до прямой АС равно √40, а расстояние от точки А₁ до прямой ВС равно 2√17.

  Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая призма (см. рисунок), угол АСВ = углу А₁С₁В₁ = 90°, СС₁ = АА₁ = ВВ₁ = 2, расстояние от точки В₁ до прямой АС равно √40, расстояние от точки А₁ до прямой ВС равно 2√17.

  Найти: расстояние от точки С₁ до прямой АВ.

  Решение:

  Так как АС перпендикулярен СВ и АС перпендикулярен С₁С, то АС перпендикулярен СС₁В₁ => АС перпендикулярен СВ₁ => СВ₁ - расстояние от точки В₁ до прямой АС => СВ₁ = √40. Рассуждая аналогичным образом, можно показать, что СА₁ = 2√17. По теореме Пифагора из Δ САА₁:

 а из Δ СВВ₁:

  Тогда из треугольника АВС по теореме Пифагора:

  Пусть Н принадлежит АВ и СН перпендикулярен АВ. Так как АВ перпендикулярен СН и СС₁ перпендикулярен АВ, то АВ перпендикулярен СС₁Н. Поэтому С₁Н перпендикулярен АВ, а значит, С₁Н - расстояние от точки С₁ до прямой АВ.

S_ABC = 1/2 · AC · BC = 1/2 · CH · AB => CH = (AC · BC)/AB = 4,8.

  По теореме Пифагора из Δ НСС₁:

  Ответ: 5,2.