Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС, равным 12, и боковой стороной, равной 15. Высота призмы равна 0,8. Плоскость α проходит через точку пересечения медиан основания АВС и через середины рёбер А₁В₁ и В₁С₁. Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.

  Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая треугольная призма с основаниями АВС и А₁В₁С₁ (см. рисунок), АВС - равнобедренный треугольник, АВ = АС = 15, ВС = 12, АА₁ = ВВ₁ = СС₁ = 0,8, М - точка пересечения медиан треугольника АВС, К₁ - середина ребра В₁С₁, N₁ - середина ребра В₁А₁, α - плоскость, К₁, N₁, M принадлежит α.

  Найти: площадь сечения призмы АВСА₁В₁С₁ плоскостью α.

  Решение:

  Проведём через точку М отрезок KN  параллельно K₁N₁, где К принадлежит ВС, а N принадлежит АВ. Тогда так как М принадлежит KN, М принадлежит α, K₁N₁ принадлежит α и KN параллелен K₁N₁, то KN принадлежит α, а трапеция K₁N₁NK - сечение призмы плоскостью α. Так как K₁N₁ - средняя линия треугольника А₁В₁С₁, то K₁N₁ = 1/2 · A₁C₁ = 7,5 и K₁N₁, A₁C₁, AC - параллельны. Поэтому KN и АС - параллельны. Так как KN и АС - параллельны и KN делит медиану треугольника АВС, проведенную из вершины В, в отношении 2 : 1, считая от вершины, то треугольники BKN и ВСА подобны с коэффициентом подобия 2/3.

  Тогда ВК = 2/3 · ВС = 2/3 · 12 = 8, KN = BN = 2/3 · BA = 2/3 · 15 = 10.

  Пусть Р - середина отрезка ВК. Так как BN = KN, то NP перпендикулярен ВК. Поэтому из Δ BNP =>

  Пусть Н принадлежит KN и ВН перпендикулярен KN. Тогда

S_BKN = 1/2 · BK · NP = 1/2 · BH · NK => BH = (BK · NP)/NK = 8√21/5.

  Пусть F - точка пересечения АС и ВН, а D₁ принадлежит K₁N₁, так что B₁D₁ и KN - перпендикулярны. Опустим перпендикуляр D₁D на плоскость АВС, DD₁ = BB₁ = 0,8. Так как B₁D₁ перпендикулярен K₁N₁ и D₁ принадлежит средней линии треугольника А₁В₁С₁, то D принадлежит BF и BD = DF. Из подобия треугольников BKN и ВСА следует, что ВН = 2/3 · BF. Таким образом,

DH = BH − BD = BH − 1/2 · BF = BH − 1/2 · 3/2 · BH = 1/4 · BH = 2√21/5.

  Из треугольника DD₁H:

  По теореме о трех перпендикулярах, так как DD₁ перпендикулярен плоскости АВС и DH перпендикулярен KN, то D₁H перпендикулярен KN. Следовательно, искомая площадь 

S_K1N1NK = 1/2 · (K₁N₁ + KN) · D₁H = 1/2 · 17,5 · 2 = 17,5.

  Ответ: 17,5.