Дана прямая призма АВСА1В1С1, в основании которой лежит прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой СВ, равной 6√2. Угол между плоскостями САВ и АВС1 равен 30°. Найдите угол (в градусах) между плоскостями АВС и А1ВС, если ребро ВВ1 равно 4.
Решение:
1) Из прямоугольного Δ АС1С находим: АС = СС1 · ctg 30° = 4√3 (см. рисунок).
2) Из прямоугольного Δ АВС:
3) Пусть АК - высота Δ АВС, проведенная к стороне ВС.
SABC = 1/2 · AC · AB,
с другой стороны
SABC = 1/2 · AK · BC.
Следовательно
AK = (AC · AB)/BC = (4√3 · 2√6)/6√2 = 4.
4) В треугольнике А1АК : угол А1АК = 90°, АА1 = АК, следовательно, угол АКА1 = 45°. (Докажите самостоятельно, что угол САС1 - линейный угол двугранного угла С1АВС, а угол АКА1 - линейный угол двугранного угла А1ВСА.)
Ответ: 45°.