Дана прямая призма АВСА1В1С1, в основании которой лежит прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой СВ, равной 6√2. Угол между плоскостями САВ и АВС1 равен 30°. Найдите угол (в градусах) между плоскостями АВС и А1ВС, если ребро ВВ1 равно 4.

 

  Решение:

  1) Из прямоугольного Δ АС1С находим: АС = СС1 · ctg 30° = 4√3 (см. рисунок).

Дана прямая призма АВСА1В1С1 

  2) Из прямоугольного Δ АВС:

  3) Пусть АК - высота Δ АВС, проведенная к стороне ВС.

SABC = 1/2 · AC · AB,

с другой стороны

SABC = 1/2 · AK · BC.

  Следовательно

AK = (AC · AB)/BC = (4√3 · 2√6)/6√2 = 4.

  4) В треугольнике А1АК : угол А1АК = 90°, АА1 = АК, следовательно, угол АКА1 = 45°. (Докажите самостоятельно, что угол САС1 - линейный угол двугранного угла С1АВС, а угол АКА1 - линейный угол двугранного угла А1ВСА.)

  Ответ: 45°.