Основанием наклонной призмы АВСА₁В₁С₁ с боковыми рёбрами АА₁, ВВ₁, СС₁ является правильный треугольник АВС со стороной

Вершина А₁ проектируется в центр грани АВС, и ребро АА₁ составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

  Дано: АВСА₁В₁С₁ - наклонная призма (см. рисунок), ΔАВС - правильный, О - центр ΔАВС, А₁О перпендикулярен АВС, угол А₁АО = 45°, АС =

  Найти: S_{бок. пов.}.

  Решение:

  1) Боковые грани призмы АА₁С₁С и АА₁В₁В - равные параллелограммы, а грань СС₁В₁В - прямоугольник.

S_{бок. пов.} = 2S_AA1C1C + S_CBB1C1 .

  2) Пусть а - длина стороны основания. AD - высота Δ АВС, Δ АВС - правильный, AD = a√3/2, AO = 2/3 · AD = a√3/3.

  3) Рассмотрим Δ АОА₁: угол А₁АО = 45°, тогда АА₁ = АО · √2 = (а√3 · √2)/3 = а√6/3.

  4) ВК - высота Δ АВС, ВК перпендикулярен АС, тогда А₁К перпендикулярен АС.

  Из Δ АА₁К находим:

  5) S_AA1C1C = AC · A₁K = a · a√15/6 = a²√15/6.

S_CC1B1B = BC · CC₁ = a · a√6/3 = a²√6/3.

S_{бок. пов.} = 2а²√15/6 + а²√6/3 = (а²(√15 + √6))/3.

По условию а =

S_{бок пов} = ((√15 − √6)(√15 + √6))/3 = 3.

  Ответ: 3.