Боковые рёбра призмы АВСА₁В₁С₁ , в основании которой лежит равносторонний треугольник, наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Отрезок АС₁ перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна 3√3(1 + √5).

  Дано: АВСА₁В₁С₁ - призма (см. рисунок). Треугольник АВС - равносторонний; АА₁, ВВ₁, СС₁ наклонены к плоскости основания под углом 60°, АС₁ перпендикулярен АВС, S_бок = 3√3(1 + √5).

  Найти: АС₁.

  Решение:

  1) Пусть М - проекция точки В на плоскость АВС. Тогда АМС₁В₁ - прямоугольник, С₁В₁ = АМ = СВ = АС, СВ параллельна С₁В₁ и АМ. Следовательно, АМВС - ромб, МС перпендикулярен АВ, В₁МС перпендикулярен АВ. Пусть L - точка пересечения МС и АВ. Тогда В₁L перпендикулярен АВ.

  2) Пусть АЕ - высота треугольника АВС. Так как АС₁ перпендикулярен АВС, С₁Е - наклонная к плоскости АВС, АЕ - проекция наклонной, АЕ перпендикулярен ВС, то, по теореме о трех перпендикулярах, С₁Е перпендикулярен ВС.

  3) Покажем, что С₁Е = B₁L. Так как треугольник АВС - равносторонний, то АЕ - медиана треугольника АВС, СЕ = 1/2 · ВС.

  L - точка пересечения диагоналей ромба МАСВ, и, значит,

LB = 1/2 · AB = 1/2 · BC = CE.

  Таким образом, в треугольниках СС₁Е и BB₁L: B₁B = C₁C, угол B₁LB равен углу С₁ЕС и равен 90°, BL = CE. Следовательно, ΔCC₁E = ΔBB₁L и B₁L = C₁E.

  4) Так как АС = АВ и B₁L = C₁E, то S_A1B1BA = S_C1B1BC. Следовательно, площадь боковой поверхности заданной призмы

S_бок = S_AA1C1C + 2S_C1B1BC.

  5) Пусть АС₁ = х, (х > 0), тогда

АС = АС₁/tgACC₁ = x/tg60° = x/√3.

S_AA1C1C = AC · AC₁ = x/√3 · x = x²/√3.

  6) АЕ - высота треугольника АВС, ΔАВС - правильный, АЕ = АС√3/2 = (х · √3) / (√3 · 2) = х/2.

  Из треугольника ЕАС₁:

  7) S_CC1B1B = BC · C₁E = x/√3 · x/2 · √5 = x²√5/2√3.

  8) S_бок = x²/√3 + (2x²√5)/2√3 = x²(1 + √5)/√3.

  По условию S_бок = 3√3(1 + √5).

  Найдем х из уравнения

х²(1 + √5)/√3 = 3√3(1 + √5),

х² = 9,

х = 3.

  АС₁ = 3.

  Ответ: 3.