В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра основания до бокового ребра равно √6, косинус угла между боковой гранью и основанием равен синусу этого угла. Найдите объем пирамиды.

 

  Решение:

  Из условия следует, что двугранный угол при основании пирамиды составляет 45°, поэтому высота пирамиды равна половине стороны основания. Пусть N - вершина пирамиды с основанием ABCD, Н - центр основания, НМ - перпендикуляр, проведенный к боковому ребру (см. рисунок), а (а > 0) - сторона основания.

 В правильной четырехугольной пирамиде

  Из треугольника HND имеем:

HN · HD = HM · ND = 2S,

  где S - площадь ΔHND; HN = a/2, HD = a√2/2, HM = √6,

 

  Получаем равенство

  откуда а = 6.

  Объем пирамиды: V = 1/3 · a2 · a/2 = 36.

  Ответ: 36.