В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра основания до бокового ребра равно √6, косинус угла между боковой гранью и основанием равен синусу этого угла. Найдите объем пирамиды.
Решение:
Из условия следует, что двугранный угол при основании пирамиды составляет 45°, поэтому высота пирамиды равна половине стороны основания. Пусть N - вершина пирамиды с основанием ABCD, Н - центр основания, НМ - перпендикуляр, проведенный к боковому ребру (см. рисунок), а (а > 0) - сторона основания.
Из треугольника HND имеем:
HN · HD = HM · ND = 2S,
где S - площадь ΔHND; HN = a/2, HD = a√2/2, HM = √6,
Получаем равенство
откуда а = 6.
Объем пирамиды: V = 1/3 · a2 · a/2 = 36.
Ответ: 36.