В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4√3. Через вершину основания проведено сечение, параллельное противоположной стороне основания и перпендикулярное противоположной боковой грани пирамиды. Сечение наклонено к плоскости основания пирамиды под углом, тангенс которого равен 2√3/3. Найдите объём пирамиды.

  Решение:

  Не нарушая общности, можем считать, что указанное сечение проведено через вершину В основания АВС пирамиды SABC. Пусть К - точка пересечения заданного сечения с апофемой SP грани ASC (см. рисунок).

  Из условия следует, что ВК перпендикулярен SP, tg KBP = 2√3/3. Пусть SO - высота пирамиды SABC, проведенная из вершины S к основанию АВС. Тогда объем пирамиды V_SABC = 1/3 · S_ABC · SO. Так как пирамида SABC - правильная, то ВР - высота Δ АВС и ВР = ВА · sin 60° = 6. Тогда S_ABC = 1/2 · BP · AC = 12√3. Так как ВР - медиана Δ АВС, то ОР = 1/3 · ВР = 2. Треугольники ВКР и SOP - подобны (по двум углам). Значит, углы OSP и КВР - равны. Поэтому tg OSP = OP/SO = 2√3/3. Отсюда SO = √3, и, следовательно, V_SABC = 1/3 · 12√3 · √3 = 12.

  Ответ: 12.