В треугольной пирамиде ABCD ребро AD перпендикулярно грани BCD и равно 1/√3, а грань BCD является равнобедренным треугольником, в котором BD = CD = 4, BC = 2√15. Найдите градусную меру угла между ребром CD и АВ.
Решение:
1) Обозначим искомый угол через α. Через вершину А в плоскости ACD проведём прямую параллельно ребру CD, и пусть К - проекция вершины В на эту прямую, а L - проекция точки К на CD (см. рисунок).
Тогда α равен углу КАВ, sin α = ВК/АВ. Очевидно, что KL и AD - параллельны, и, значит, прямая KL перпендикулярна плоскости BCD, угол KLB равен 90°. Так как DL и AK - параллельны и АК перпендикулярен ВК, то DL перпендикулярен ВК, поэтому, по теореме о трёх перпендикулярах, DL перпендикулярен BL.
2) Учитывая, что KL = AD = 1/√3, из ΔBKL и ΔABD по теореме Пифагора имеем:
Высоту BL ΔBDC найдём, выразив площадь ΔBDC двумя способами:
2SBDC = BL · CD = BC · DH, где DH - высота к стороне ВС. Так как BD = CD, то DH является и медианой ΔBDC, то есть, по теореме Пифагора
Итак, имеем:
градусная мера α составляет 30°.
Ответ: 30.
