В правильной треугольной пирамиде SABC ребро SA наклонено к плоскости основания АВС под углом α. Найдите расстояние от середины ребра SA до прямой ВС, если cos α = 1/3, а сторона основания пирамиды равна 6.

  Дано: SABC - правильная треугольная пирамида (см. рисунок), угол между прямой SA и плоскостью основания АВС равен α, cos α = 1/3, AB = AC = BC = 6, SK = KA.

  Найти: расстояние от точки К до прямой ВС.

  Решение:

  1) Обозначим через L середину ребра ВС. Тогда плоскость ASL перпендикулярна прямой ВС, так как AL и SL - высоты. Следовательно, прямая KL перпендикулярна прямой ВС. Таким образом, расстояние от точки К до ребра ВС равно KL.

  2) Так как треугольник АВС - равносторонний, то AL = √3/2 · AC = 3√3. Пусть О - центр треугольника АВС, Н - основание перпендикуляра, опущенного из К на плоскость АВС. Тогда по свойству точки пересечения медиан АО = 2/3 · AL = 2√3. Поскольку точка Н делит АО на две равные части, то АН = √3. Тогда HL = AL − AH = 2√3.

  3) Рассмотрим треугольник КАН. Имеем: КН = АН · tg α. Так как cos α = 1/3, то

  Следовательно, КН = 2√6.

  4) Рассмотрим прямоугольный треугольник KHL. По теореме Пифагора получаем:

  Ответ: 6.