Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и апофемой пирамиды равен φ. Найдите длину высоты пирамиды, если cos φ = 1/√6, а объём пирамиды равен 40√3.

  Решение:

  Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCD с треугольником АВС в основании, удовлетворяющую условию (см. рисунок).

  Так как пирамида правильная, то треугольник АВС - равносторонний. Обозначим через а длину стороны треугольника АВС, тогда АВ = АС = ВС = а, (а > 0).

  Поскольку DM - апофема пирамиды, то угол HDM = φ. В прямоугольном треугольнике HDM выполняются следующие соотношения:

DH = ctg φ · MH = ctg φ · √3a/6.

  Вычислим ctg φ. Имеем:

  Таким образом, объем пирамиды

V = 1/3 · DH · S_ΔABC = a³/24 · ctg φ = a³/24√5 = 40√3 => a = 4√15.

  Следовательно, высота пирамиды

DH = √3/6 · 4√15 · 1/√5 = 2.

  Ответ: 2.