Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, где S - вершина, равна 8. Найдите расстояние между прямыми, содержащими рёбра CD и SB, если высота пирамиды равна 3.

  Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида с основанием ABCD (см. рисунок), SO - высота пирамиды ABCD; АВ = ВС = CD = AD = 8, SO = 3.

  Найти: расстояние между скрещивающимися прямыми CD и SB.

  Решение:

  Рассмотрим плоскость SAB. Она содержит прямую SB и прямую АВ параллельную CD. Поэтому SAB параллельна CD, а значит, расстояние между скрещивающимися прямыми CD и SB равно расстоянию между прямой CD и плоскостью SAB и равно расстоянию от любой точки прямой CD до плоскости SAB. Найдем расстояние от точки N - середины ребра CD - до плоскости SAB. Пусть М - середина ребра АВ и пусть NH - высота треугольника SMN, тогда искомое расстояние равно длине высоты NH. Найдем её.

ОВ = 1/2 · DB = 1/2 · √2 · AB = 4√2.

  Так как SO - высота пирамиды, то в прямоугольном треугольнике SOB:

   В прямоугольном треугольнике SMB:

  Рассмотрим треугольник SMN. С одной стороны

S_SMN = 1/2 · SO · MN = 1/2 · 3 · 8 = 12,

  с другой стороны

S_SMN = 1/2 · SM · NH = 1/2 · 5 · NH = 5/2 · NH.

  Следовательно, справедливо равенство 12 = 5/2 · NH, откуда NH = 24/5 = 4,8.

  Ответ: 4,8.