В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС. Боковое ребро пирамиды SA перпендикулярно плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если величина угла между прямой SA и прямой, проходящей через точку С и середину ребра SB, равна 60°, а расстояние между этими скрещивающимися прямыми равно √3.

  Решение:

  Пусть L - середина отрезка SB (см. рисунок). Проведем LK параллельно AS, тогда угол между AS и LC равен 60°.

  1) Так как KL - средняя линия треугольника SAB, то СК является медианой и высотой правильного треугольника АВС. Значит, АК перпендикулярен КС и KL (по построению). Следовательно, АК перпендикулярен KLC, отсюда АК перпендикулярен LC. Значит, АК - расстояние между прямыми AS и CL. Тогда согласно условию АК = √3. Так как СК - медиана треугольника АВС, то АВ = 2АК = 2√3. Так как СК - высота треугольника АВС, то 

  Получаем:

S_ABC = 1/2 · CK · AB = 1/2  · 3 · 2√3 = 3√3.

  2) Из прямоугольного треугольника KLC находим

KL = CK · tgKLC = 3tg60° = 3 · √3/3 = √3.

  Так как KL - средняя линия треугольника ASB, то AS = 2√3.

V_пир = 1/3 · S_ABC · AS = 1/3 · 3√3 · 2√3 = 6.

  Ответ: 6.