Высота правильной треугольной пирамиды равна 3√6, а двугранный угол, образованный боковыми гранями, равен 120°. Найдите длину стороны основания.

  Дано: SABC - правильная пирамида; SO - высота; SO = 3√6; двугранный угол при ребре AS = 120° (см. рисунок).

  Найти: ВС.

  Решение:

  Проведем прямые СМ и ВМ перпендикулярно AS, тогда угол ВМС = 120°. Из того, что пирамида SCAB - правильная, следует, что треугольник ВМС - равнобедренный; угол СВМ = углу ВСМ = 30°. Пусть N - середина отрезка СВ. Обозначим BN = x.

  Из треугольника MNB имеем:

MN = BN · tg30°; MN = x√3/3.

  Из треугольника ABN имеем:

AN = AB · sin60° = 2x√3/2;

S_ANS = 1/2 · AS · MN.

  Пусть SO - высота пирамиды. Так как пирамида SABC - правильная, то SO - высота треугольника NSA, тогда

S_ANS = 1/2 · AN · SO;

AS · MN = AN · SO = (AN · SO)/MN = (x√3 · 3√6)/(x√3/3) = 9√6.

  Из треугольника ASO имеем:

  Так как О является точкой пересечения медиан треугольника САВ, то

NA = 3AO/2 = 3/2 · 12√3 = 18√3. 

  Тогда

АВ = AN/sin60° = (18√3 · 2)/√3 = 36.

  Ответ: 36.