Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 24.

 

  Дано: SABC - правильная пирамида; АМ = ВМ; CN = BN; MEN и АВС - перпендикулярны; АВ = 2; SO - высота; SO = 24 (см. рисунок).

  Найти: SMEN.

 SABC - правильная пирамида

  Решение:

  Сечением пирамиды плоскостью, указанной в условии задачи, является треугольник MEN. SMEN = 1/2 · MN · EK, где ЕК - высота треугольника MEN. Из условия следует, что MN - средняя линия треугольника АВС. Поэтому MN = 1/2 · AC = 1/2 · 2 = 1. Пусть Р - точка пересечения высоты, опущенной из вершины В к стороне АС, с прямой АС. Из треугольника ВСР имеем: ВР = ВС · sin60°; BP = 2√3/2 = √3. Так как SABC - правильная пирамида, то точка О является центром вписанной окружности, О принадлежит ВР, ВО/ОР = 1/2.

  Следовательно ВО = 2/3 · ВР = 2√3/3; ВК = 1/2 · ВР; ВК = √3/2.

  Треугольник OSB подобен треугольнику ВКЕ (по двум углам: угол ЕКВ = углу SOB = 90°; угол ЕВК = углу SBO), тогда имеем:

SO/EK = BO/BK;

EK = (SO · BK) / BO = (24 · √3 · 3)/(2 · 2√3) = 18;

SMEN = 1/2 · 1 · 18 = 9.

  Ответ: 9.