В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 6√3. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30°. Вычислите объём пирамиды.

  Дано: SABC - пирамида (см. рисунок). Угол АСВ = 90°, АС = 6√3, ВС = 6. SA, SB, SC наклонены к плоскости основания под углом 30°.

  Найти: V_SABC.

  Решение: Так как боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около треугольника АВС. А так как треугольник АВС - прямоугольный, то центр О описанной окружности лежит на середине О гипотенузы. Следовательно, угол SBA = 30°.

S_ABC = 1/2 · 6 · 6√3 = 18√3

ОВ = 1/2 · АВ = 6

SO = OB · tg30° = 6/√3

V_SABC = 1/3 · S_ABC · SO = 1/3 · 18√3 · 6/√3 = 36

  Ответ: 36.