Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной 2√7. Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса.
Решение:
1. О - центр Δ АВС (правильного):
АD = √7 (CD - медиана и высота) => OD = AD tg 30° (Δ AOD) = √7/√3.
2. E - центр вписанной окружности в Δ ABF (равнобедренный):
FE, AE - биссектрисы => E ε FD ( - медиана и высота) =>
=> ED = r - радиус вписанной окружности.
3. OF перпендикулярна АВС (пирамида правильная),
ОЕ перпендикулярна ABF (ось и основание конуса)
=> OD2 = DE · FD (OE - высота к гипотенузе Δ AOF) => FD = 7 / 3r.
Ответ: 1.