Дана правильная призма АВСА₁В₁С₁, где АА₁, ВВ₁ и СС₁ - боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА₁, пересекает ребро А₁С₁ в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ₁. Известно, что АВ = 12,

А₁М : МС₁ = 3 : 1.

  Найдите площадь боковой поверхности призмы.

  Решение:

  1. A₁N - высота в Δ А₁В₁С₁:

  Так как A₁N - перпендикулярна АА₁, а АА₁ и ВВ₁ - параллельны, то А₁N - перпендикулярна СВВ₁.

  2. К - точка касания сферы с плоскостью СВВ₁:

  => A₁N = OK = OM = OA = r - радиус сферы (т.к. ОА перпендикулярен АВС).

  3. а = 12 - сторона основания: