Внутри правильного тетраэдра ABCD с ребром, равным 12, расположен конус, вершина которого является серединой ребра CD. Основание конуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра ВС параллельно прямым CD и АВ. Найдите объем конуса.
Решение:
1. Сечение KLMN:
б) AF, BF перпендикулярны CD (медианы и высоты в Δ АСD, Δ BCD) =>
ABF перпендикулярна CD => AB перпендикулярна CD => KLMN - прямоугольник.
в) K, L, M, N - середины ребер (теорема Фалеса), т.к. К - середина ВС.
г) KL = MN = AB/2 = CD/2 (т.к. AB = CD) = LM = KN => KLMN - ромб.
д) KLMN - квадрат:
α = АВ/2 = 12/2 = 6 - сторона,
r = α/2 = 3 - радиус вписанной окружности.
2. EF перпендикулярна CD (т.к. ABF перпендикулярен CD),
EF перпендикулярна AB (аналогично) => EF - общий перпендикуляр к АВ и CD
=> FO перпендикулярна KLMN (ось конуса)
=> FO = h - высота конуса.
Ответ:
