В правильной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра
АВ = 8√3 и SC = 17.
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М - точка пересечения медиан грани SBC.
Решение: (см. рисунок).
Пусть SN - медиана треугольника SBC, а H и K - проекции точек S и M на основание АВС. Тогда
1) AN и SN - перпендикулярны ВС, поэтому H и K ε AN;
2) AN = AB sin 60° = 8√3 · (√3 / 2) = 12 => АН = 2/3 AN = 8
(теорема Пифагора, Δ ASH);
3) МК : SH = KN : HN = MN : SN = 1 : 3 (по свойству медианы и из подобия Δ NMK и Δ NSH) => MK = 1/3 SH = 5
Ответ: arctg 15/32