{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА, ПРИВОДИМЫЕ К ЛИНЕЙНЫМ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

 

  Каждое из неравенств вида Ах > В, Ах < В, АХ ≥ В или АХ ≤ В, где А и В - действительные числа или функции от параметров, а х - действительная переменная величина, называют линейным неравенством с одним неизвестным х.

  Например, неравенство (b − 2)x < 4b - линейное относительно х. При b = 2   х - любое число, при b > 2  х < 4b / (b − 2), при b < 2  х > 4b / (b − 2).

 

  1. Решите неравенство:

  Решение: По смыслу задачи а ≠ 1. Преобразуем неравенство:

 

 

  При а = 1 решений нет.

  1) а − 1 > 0, т.е. а > 0, тогда получившееся неравенство равносильно неравенству 3х(4 − а) + а − 1 < 0 или 3х(4 − а) < 1 − а.

  а) 4 − а = 0, а = 4, х · 0 < −3; решений нет.

  б) 4 − а > 0, а < 4, х < (1 − а) ÷ 3(4 − а), х < (а − 1) ÷ 3(а − 4).

  Отсюда при 1 < а < 4     х < (а − 1) ÷ 3(а − 4).

  в) 4 − а < 0, а > 4    х > (а − 1) ÷ 3(а − 4). Тогда при а > 4   х > (а − 1) ÷ 3(а − 4).

  2) а − 1 < 0, т.е. а < 1, тогда получившееся неравенство равносильно неравенству 3х(4 − а) + а − 1 > 0 или 3х(4 − а) > 1 − а.

  а) 4 − а = 0, а = 4, 0 · х > −3, х - любое, но так как а < 1, то неравенство 3х(4 − а) > 1 − а решений не имеет.

  б) 4 − а > 0, а < 4, х > ((1 − а) ÷ 3(4 − а)) => х > ((а − 1) ÷ 3(а − 4))

  Учитывая, что а < 1, получим, что при а < 1:

 

  в) 4 − а < 0, а > 4, но так как а < 1, то рассматривать неравенство 3х(4 − а) > 1 − а не имеет смысла.

 

  Ответ:

  при а < 1 и при а > 4

  при 1 < а < 4

 

  при а = 1 и при а = 4 решений нет.

 

  2. Решите неравенство:  (3)

   Решение:

  По смыслу задачи х ≠ 3.

  Преобразуем неравенство (3):

 

 

 

  Неравенство (4) равносильно неравенству (3) и сводится к совокупности двух систем:

 

  Решаем систему (4а). Рассмотрим первое неравенство х(2 − а) < 12 − 9а.

  1) а = 2, х · 0 < −6; нет решений.

  2) 2 − а > 0, а < 2,

 

  Итак, при а < 2

  3) 2 − а < 0, а > 2,

 

  Итак, при а > 2

 

  Для выбора решения каждой из систем сравним величины:

 

  Для этого рассмотрим разность

 

  при 1 < а < 2.

  ((6а − 6) ÷ (а − 2)) > 0 при а < 1 и при а > 2, следовательно,

 

  при 1 < а < 2;

 

  при а < 1 и при а > 2.

  Тогда следует решение (5) и при 1 < а < 2 нет решений, при а < 1

 

  Система (6) имеет решение при а > 2:

  Аналогично рассмотрим решение системы (4б). (2 − а)х > 12 − 9а.

  1) а = 2, 0 · х > −6, х - любое число, кроме х = 3.

  2) 2 − а > 0,

  Итак, при а < 2

  3) 2 − а < 0, а > 2,

  При а > 2

  Решаем системы (7) и (8), зная, что 

  при 1 < а < 2.

  Если а = 1, 1 − 1/2 < 1 − 1/2; решений нет.

 

  при а < 1 и при а > 2.

  При 1 < а < 2 система (7) имеет решение

  При а < 1 система (7) не имеет решений.

  При а > 2 система (8) имеет решение х < 3.

  Ответ:

  при а < 1

  при а = 1 решений нет;

  при 1 < а < 2

  при а = 2  х ε (−∞; 3) υ (3; +∞);

  при а > 2  х ε (−∞; 3) или

 

 {module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}