{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К ЛИНЕЙНЫМ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

 

  1. Решите уравнение: 2а(а − 2)х = а − 2.

  Решение: Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в ноль. Такими значениями являются: а = 0 и а = 2. Эти значения разбивают множество значений параметра на три подмножества:

  1) а = 0;

  2) а = 2;

  3) а ≠ 0, а ≠ 2.

  Рассмотрим эти случаи.

  1) При а = 0 уравнение принимает вид 0 · х = −2. Это уравнение не имеет корней.

  2) При а = 2 уравнение принимает вид 0 · х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

  3) При а ≠ 0 и а ≠ 2 из уравнения получаем:

 

  откуда

 

  Ответ:

  1) если а = 0, то корней нет;

  2) если а = 2, то х - любое действительное число;

  3) если 

 

  2. Решите уравнение: (а2 − 2а + 1) · х = а2 + 2а − 3.

  Решение: Находим контрольные значения параметра а: а2 − 2а + 1 = 0, а = 1.

  Множество значений параметра разбивается на два подмножества:

  1) а = 1;

  2) а ≠ 1.

  Решим уравнение на каждом из них.

  1) а = 1; 0 · х = 0, х ε R.

  2) а ≠ 1;

 

  Ответ:

  1) если а = 1, то х ε (−∞; +∞);

  2) если а ≠ 1, то х = (а + 3) ÷ (а − 1).

 

  3. Решите уравнение:

  Решение: Освободимся от знаменателя в уравнении, для этого умножим обе его части на а(а − 2) ≠ 0.

3а − 2 + ах − а + 2а − 4 = 0

х(3 + а) = 6 − а

  Контрольными значениями будут: а = 0, а = 2, а = −3.

  Рассмотрим решение уравнения на подмножествах:

  1) а = 0;

  2) а = 2;

  3) а = −3;

  4)

  Итак:

  1) а = 0. Уравнение не имеет решений.

  2) а = 2. Уравнение не имеет решений.

  3) а = −3.  х·0 = 6 + 3 = 9, х ε Ø.

  4)

  Ответ: Ø при а = −3, а = 0, а = 2;

 

 

  4. При всех значениях параметра а решите уравнение:

 

  Решение: Разобьем числовую прямую на ряд промежутков нулями: х = −2, х = 4 и рассмотрим решение уравнения на каждом из них.

 

  1) х < −2;

  2) −2 ≤ х < 4

  3) х ≥ 4

 

  Итак:

  1) х < −2.

−х − 2 − ах + 4а = 6

х(а + 1) = 4а − 8

  а) а + 1 = 0, а = −1, 0 · х = −12; нет решений.

  б) а + 1 ≠ 0, а ≠ −1,

  Поскольку х < −2, то

 

  Решим полученное неравенство методом интервалов.

  Его решение: −1 < а < 1.

  Итак, при −1 < а < 1

  2) −2 ≤ х ≤ 4,   х + 2 − ах + 4а = 6,  х(1 − а) = 4 − 4а.

  а) Если а = 1, то х · 0 = 0; х - любое действительное число, но так как −2 ≤ х ≤ 4, то при а = 1   −2 ≤ х ≤ 4.

  б) Если а ≠ 1, то х = 4(1 − а) ÷ (1 − а) = 4.

  3) х ≥ 4.

х + 2 + ах − 4а = 6

х(а + 1) = 4 + 4а

  а) а + 1 = 0, а = −1, х · 0 = 0, х - любое. Поскольку х ≥ 4, то при а = −1  х ≥ 4.

  б) а + 1 ≠ 0, а ≠ −1, х = 4.

  Ответ:

  х = 4 при а < −1;

  х ≥ 4 при а = −1;

  х1 = 4, х2 = (4а − 8) ÷ (а + 1) при  −1 < а < 1;

  −2 ≤ х ≤ 4 при а = 1;

  х = 4 при а > 1.

 {module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}