ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

 

  На ЕГЭ, вступительных экзаменах в вузы часто встречаются задачи с параметрами. В школьном курсе математики эти задачи рассматривают пока крайне редко, бессистемно, поэтому при решении таких задач у выпускников обычно возникают затруднения. Но в государственном стандарте образования по математике отмечается, что в ближайшем будущем задачи с параметрами будут введены в школьный курс математики.

  Материалы данного раздела помогут в освоении методов решения задач с параметрами и будут полезны при подготовке к ЕГЭ, а также окажут помощь студентам педагогических вузов, учителям, работающим в классах с углубленным изучением математики, при проведении факультативных занятий.

  Здесь рассмотрены все типы задач с параметрами, приведены подробные примеры их решения.

  В разделе рассмотрены уравнения и неравенства вида

f (a, b, x) = φ (a, b, x)         (1)

f (a, b, x) > φ (a, b, x)         (2)

f (a, b, x) ≥ φ (a, b, x)       (2а)

  где a, b, x - переменные величины.

  Любую систему значений переменных a = a0, b = b0, x = x0, при которой обе части уравнения (1) или неравенства (2), (2а) принимают действительные значения, называют системой допустимых значений переменных a, b, x.

  Переменные a, b, которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называют параметрами, а само уравнение (неравенство) называют уравнением (неравенством), содержащим параметры.

  Условимся в дальнейшем обозначать параметры первыми буквами латинского алфавита a, b, c, d, ...., а неизвестные - последними буквами x, y, z.

  Пусть дано уравнение:

  F (x, a) = 0.              (3)

  Если ставится задача отыскать все такие пары (x, a), которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (3) - это уравнение с двумя переменными х и а.

  Если ставится задача для каждого значения а из некоторого числового множества А решить уравнение (3) относительно х, то уравнение (3) называют уравнением с переменной х и параметром а, а множество А - областью изменения параметра.

  Решить уравнение с параметром - значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

  Для разбиения множества значений параметра А на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными.

  Вторая постановка задачи: найти все значения параметра а, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям.

  В процессе решения уравнений существенную роль играют теоремы о равносильности. Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называют равносильными, если:

  а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

  б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.